x1 = {1, 2, 3, 4, 5}

x2 = {2, 3, 4, 5, 1}

x3 = {3, 4, 5, 1, 2}

mA = Transpose[{x1, x2, x3}]

MatrixForm[mA]

MatrixForm[RowReduce[mA]]

v1 = x1

v2 = 11 (x2 - x2 . (v1/v1) . v1 v1)

v1 . v2

v3 = 
      40 (x3 - x3 . (v1/v1) . v1 v1 - x3 . (v2/v2) . v2 
              v2)

v1 . v2

v1 . v3

v3 . v2

xx = {1, 1, 1, 1, 1}

xp = xx . (v1/v1) . v1 v1 + xx . (v2/v2) . v2 
          v2 + xx . (v3/v3) . v3 v3

(xx - xp) . xp

(xx - xp) . x3

u1 = (1/(Sqrt[v1 . v1])) v1

u2 = (1/(Sqrt[v2 . v2])) v2

u3 = (1/(Sqrt[v3 . v3])) v3

mQ = FullSimplify[Transpose[{u1, u2, u3}]]

Transpose[mQ] . mQ

mR = FullSimplify[Transpose[mQ] . mA]

MatrixForm[mQ . mR]

MatrixForm[mA]